Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 + 0 & 6 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $6$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $6$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 3 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 3 & 1 & - 2 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 1 & - 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 1 & - 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 1 & - 2 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 1 & - 2 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((5 - λ) (- 2 - λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Развернем $(5 - λ) (- 2 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (5 (- 2 - λ) - λ (- 2 - λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (5 \cdot - 2 + 5 (- λ) - λ (- 2 - λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (5 \cdot - 2 + 5 (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1

Умножим $5$ на $- 2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 + 5 (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.2

Добавим $- 5 λ$ и $2 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 3 λ + λ^{2} - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 3 λ + λ^{2} - 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $6$ из $- 10$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 3 λ + λ^{2} - 16) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3

Изменим порядок $- 3 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (4 (- 2 - λ) - 3 \cdot 6) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (4 \cdot - 2 + 4 (- λ) - 3 \cdot 6) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 8 + 4 (- λ) - 3 \cdot 6) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 8 - 4 λ - 3 \cdot 6) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.4

Умножим $- 3$ на $6$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 8 - 4 λ - 18) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $18$ из $- 8$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 \cdot 1 - 3 (5 - λ))$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Умножим $4$ на $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 - 3 (5 - λ))$

Этап 5.4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 - 3 \cdot 5 - 3 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $- 3$ на $5$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 - 15 - 3 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 - 15 + 3 λ)$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $15$ из $4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (- 11 + 3 λ)$

Этап 5.4.2.3

Изменим порядок $- 11$ и $3 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Развернем $(2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- 3 λ) + 2 \cdot - 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ + 2 \cdot - 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $2$ на $- 16$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.2.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.2.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.2.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.2.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.2.6

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.2.7

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} + 3 λ^{2} + 16 λ - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.3

Добавим $2 λ^{2}$ и $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.4

Добавим $- 6 λ$ и $16 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} - 4 (- 4 λ) - 4 \cdot - 26 + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ - 4 \cdot - 26 + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.7

Умножим $- 4$ на $- 26$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ + 104 + 6 (3 λ - 11)$

Этап 5.5.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ + 104 + 6 (3 λ) + 6 \cdot - 11$

Этап 5.5.1.9

Умножим $3$ на $6$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ + 104 + 18 λ + 6 \cdot - 11$

Этап 5.5.1.10

Умножим $6$ на $- 11$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ + 104 + 18 λ - 66$

Этап 5.5.2

Добавим $10 λ$ и $16 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 26 λ - 32 - λ^{3} + 104 + 18 λ - 66$

Этап 5.5.3

Добавим $26 λ$ и $18 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 44 λ - 32 - λ^{3} + 104 - 66$

Этап 5.5.4

Добавим $- 32$ и $104$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 44 λ - λ^{3} + 72 - 66$

Этап 5.5.5

Вычтем $66$ из $72$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 44 λ - λ^{3} + 6$

Этап 5.5.6

Перенесем $44 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - λ^{3} + 44 λ + 6$

Этап 5.5.7

Изменим порядок $5 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} + 44 λ + 6$